函数分析：对单调性与极值点的充分必要条件研究

# 函数分析
## 1. 对函数求导
- 函数: \( f(x) = x + a x_1^2 \)
- 求导法则:
  - 乘法求导法则:
    - \( uv' = u'v + uv' \)
  - 设 \( u = x + a \), \( v = x_1^2 \)
- 求导过程:
  - \( u' = 1 \)
  - 对 \( v \) 求导:
    - 令 \( t = x_1 \)
    - \( v = t^2 \)
    - \( v' = 2t \cdot 1 = 2x_1 \)
- 求导结果:
  - \( f'(x) = x_1^2 + 2x + a x_1 = x_1 (3x + 2a) \)
  - 详细分析每一项：
    - \( x_1^2 \) 的影响
    - \( 2x \) 的影响
    - \( ax_1 \) 依赖于参数 \( a \)

## 2. 充分性分析
- 当 \( a = 1 \):
  - 代入函数导数:
    - \( f'(x) = x_1 (3x + 2) = x_1 (3x) \)
  - 性质分析:
    - \( x_1^2 \geq 0 \) 恒成立
    - \( f'(x) = 3x_1^2 \geq 0 \) 恒成立
    - 仅当 \( x = -\frac{2}{3} \) 时 \( f'(x) = 0 \)
  - 函数单调性：
    - \( f(x) \) 在 \( R \) 上单调递增
    - 结论: \( f(x) \) 没有极值点
- 充分性结论:
  - \( a = 1 \) 是函数 \( f(x) \) 单调递增且无极值的充分条件

## 3. 必要性分析
- 设 \( f'(x) = 0 \):
  - \( x_1 (3x + 2a) = 0 \)
  - \( x_1 = 0 \) 或 \( 3x + 2a = 0 \)
- 求解:
  - \( x = -\frac{2}{3}a \)
- 无极值点条件分析:
  - 令 \( x = 1 \) 与 \( x = -\frac{2}{3}a \) 相等:
    - 得方程 \( -\frac{2}{3}a = 1 \)
  - 解方程:
    - \( a = 1 \)
- 必要性结论:
  - \( a = 1 \) 是无极值点的必要条件

## 综合结论
- 最终结论:
  - \( a = 1 \) 是函数 \( f(x) \) 没有极值点的充分必要条件
- 答案是 C