数列极限与函数极限的关系与基本概念分析

# 数列极限与函数极限的关系与基本概念分析
## 基本概念
- 数列极限
  - 定义
    - 数列的项数趋向于无穷大
    - 值接近特定的数
  - 表示方式
    - \(\lim_{n \to \infty} a_n = L\)
- 函数极限
  - 定义
    - 自变量趋向特定值
    - 函数值接近某个数
  - 表示方式
    - \(\lim_{x \to c} f(x) = L\)
## 数列与函数的关系
- 数列作为函数的特例
  - 自变量为自然数
    - \(n \in \mathbb{N}\)
  - 函数值为数列的项
    - \(f(n) = a_n\)
- 数列极限通过函数极限理解
  - 使用函数极限基本定理进行分析与证明
  - 示例
    - 假设数列可以表示为某个函数
## 收敛性与连续性
- 数列收敛
  - 定义
    - 存在充分大的自然数 \(N\)
    - 项与极限值距离小于任意正数 \(\epsilon\)
  - 表达式
    - \(|a_n - L| < \epsilon\)
- 函数极限存在
  - 自变量邻域足够小
    - 定义邻域
  - 函数值与极限值距离小于任意正数
    - \(|f(x) - L| < \epsilon\)
## 极限性质
- 夹逼定理
  - 定义与应用
  - 数列与函数情形对比
- 单调有界原理
  - 数列的单调性
  - 函数的单调性
- 相同性质适用于数列与函数的极限分析
  - 对比分析
  - 示例比较
- 相互借鉴促进分析学发展
  - 数学分析中的共同性
  - 进一步研究方向