极限与连续、一元函数微分学知识体系解析与应用

# 极限与连续、一元函数微分学知识体系解析与应用
## 极限
- 定义
  - 形式定义
    - 数列极限
    - 函数极限
  - ε-δ定义
    - 开口定义
    - 收敛与发散
- 特性
  - 唯一性
  - 运算性质
    - 加法
    - 乘法
    - 比例
    - 复合函数
- 极限的存在性
  - 有界性条件
    - 上有界
    - 下有界
  - 单调性条件
    - 单调递增
    - 单调递减
  - 序列与函数极限的关系
## 连续
- 定义
  - 在某点的连续
    - 左极限与右极限
    - 连续函数的图像
  - 在区间的连续
    - 闭区间与开区间
    - 可去奇点
- 连续函数的性质
  - 有界性
  - 最大值和最小值定理
  - 中间值定理
    - 拓扑性质
    - 应用实例
- 常见连续函数
  - 初等函数
    - 多项式函数
    - 三角函数
    - 指数与对数函数
  - 分段函数
    - 定义域与值域的考虑
    - 应用实例
## 一元函数微分学
- 导数的定义
  - 一阶导数
    - 物理意义
    - 几何意义
  - 高阶导数
    - 二阶导数与加速度
    - higher-order behavior
- 导数的几何意义
  - 切线的斜率
- 导数的性质
  - 链式法则
    - 应用举例
  - 乘法法则
  - 除法法则
  - 隐函数求导法则
- 应用
  - 单调性
    - 单调增与单调减
  - 极值
    - 第一与第二导数法则
  - 函数的凹凸性
    - 凹函数与凸函数
    - 拟线性化
  - 罗尔定理
  - 拉格朗日中值定理
## 多元函数微分学的准备
- 多变量函数的概念
  - 定义与应用
  - 多维图形
- 偏导数与全导数
  - 偏导数的计算
  - 全导数的应用
- 方向导数
  - 向量的概念与应用
- 级数展开与泰勒公式
  - 泰勒级数的推导
  - 应用实例
- 隐函数定理与隐式微分法
  - 隐函数的存在性
  - 示例解析
## 思维导图写作思路
- 从基础到高级，逐步搭建知识框架
- 通过关联性，深入理解各个知识点
  - 横向与纵向联系
- 把不同章节的知识点集成在一起，形成系统化的思维
## 感想与体会
- 理解数学概念的内在联系，帮助记忆与应用
- 视觉化知识结构，有利于整体把握学习进度与深度