控制系统数学模型构建与分析的基础原理与方法

# 控制系统数学模型构建与分析的基础原理与方法
## 1. 数学模型基础
- 建模目的
  - 描述系统动态行为
  - 分析系统性能
  - 设计控制器
- 建模方法
  - 机理建模
    - 物理定律
    - 实验建模
      - 系统辨识
## 2. 微分方程模型
- 基本形式
  - 线性微分方程
  - 非线性微分方程
- 建立步骤
  - 分析系统物理关系
  - 列写元件微分方程
  - 消去中间变量
- 典型系统方程示例
  - 机械系统
    - 牛顿定律
  - 电路系统
    - 基尔霍夫定律
## 3. 传递函数模型
- 定义
  - 零初始条件下的拉氏变换比
- 标准形式
  - $$ G(s) = \frac{b_m s^m + \cdots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_1 s + a_0} $$
- 重要性质
  - 适用性
    - 线性时不变系统
  - 作用
    - 表征系统特性
- 典型环节传递函数
  - 比例环节
  - 积分环节
  - 微分环节
  - 惯性环节
  - 振荡环节
## 4. 系统结构图
- 基本元素
  - 方框
    - 表示传递函数
  - 相加点
  - 分支点
- 等效变换规则
  - 串联连接
  - 并联连接
  - 反馈连接
- 简化方法
  - 移动分支点/相加点
  - 梅森公式
## 5. 信号流图
- 组成要素
  - 节点
    - 表示变量
  - 支路
    - 表示传递函数
- 梅森增益公式
  - $$ T = \frac{\sum P_k \Delta_k}{\Delta} $$
  - $$ \Delta = 1 - \sum L_i + \sum L_i L_j + \cdots $$
## 6. 状态空间模型
- 现代控制理论基础
- 标准形式
  - $$
  \begin{cases}
  \dot{x} = Ax + Bu \\
  y = Cx + Du
  \end{cases}
  $$
- 核心概念
  - 状态变量选择
  - 能控性
  - 能观性
  - 与传递函数的关系
## 7. 模型转换关系
- 微分方程 ↔ 传递函数
  - 拉氏变换
- 传递函数 ↔ 状态空间
  - 实现理论
- 结构图 ↔ 信号流图
## 8. 非线性系统线性化
- 泰勒展开法
  - 近似方法
- 平衡点附近近似
- 描述函数法
## 9. 离散系统模型
- 差分方程模型
- Z传递函数
- 采样保持环节建模
## 10. 典型系统模型示例
- 直流电机模型
- 质量_弹簧_阻尼系统
- 液位控制系统
- 温度控制系统