向量组及其线性运算、相关性与极大无关组分析

# 向量组
## 线性运算
- 基本运算
  - 加法
    - 定义：分量相加
    - 例子：\( \mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, ..., u_n + v_n) \)
  - 数乘
    - 定义：分量数乘
    - 例子：\( c\mathbf{u} = (cu_1, cu_2, ..., cu_n) \)
  - 负向量
    - 定义：每个分量取反
    - 例子：\( -\mathbf{u} = (-u_1, -u_2, ..., -u_n) \)
  - 零向量
    - 定义：所有分量均为零
- 运算定律
  - 交换律
    - \( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \)
  - 结合律
    - \( \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} \)
  - 分配律
    - 数乘对向量加法
      - \( c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v} \)
    - 向量对数乘加法
      - \( (c+d)\mathbf{u} = c\mathbf{u} + d\mathbf{u} \)
  - 数乘结合律
    - \( c(d\mathbf{u}) = (cd)\mathbf{u} \)
  - 共8条运算定律
## 线性相关性
- 定义
  - 线性组合与线性表示
  - 线性相关
    - 存在不全为零的系数使线性组合为零
  - 线性无关
    - 仅当所有系数为零时成立
- 判定方法
  - 齐次方程组有非零解
    - 相关的条件
  - 矩阵秩 < 向量个数
    - 相关的证明
  - 向量个数 > 维数
    - 必相关
- 重要性质
  - 含零向量必相关
  - 部分组无关
    - 整体仍然无关
  - 几何意义
    - 共线
    - 共面
    - 高维推广
## 极大无关组与秩
- 基本概念
  - 极大无关组定义
    - 最大线性无关部分组
  - 秩的定义
    - 极大无关组中向量个数
- 求解方法
  - 初等行变换
    - 化为阶梯形
  - 主元列
    - 对应向量构成极大无关组
  - 非主元列
    - 向量用主元列表示
- 核心定理
  - 矩阵秩 = 行秩 = 列秩
    - 定理4.10
  - 等价向量组
    - 秩相等且可相互线性表示
## 题型与计算
- 典型问题
  - 判断线性相关性
    - 通过解齐次方程组
    - 计算矩阵秩
  - 求极大无关组及秩
    - 初等行变换法
    - 主元列确定法
  - 向量表示
    - 解非齐次线性方程组
  - 等价性证明
    - 验证秩相等
    - 证明相互线性表示