高等数学积分学第四章：不定积分的概念与方法

# 不定积分
## 一、不定积分的概念与性质
### 1. 原函数与不定积分
- 原函数定义
  - $F'(x) = f(x)$
  - $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数
- 不定积分定义
  - $\int f(x)dx = F(x) + C$ 
- 几何意义
  - 一族平行曲线
### 2. 基本性质
- 线性性质
  - $\int [af(x) + bg(x)]dx = a\int f(x)dx + b\int g(x)dx$
- 微分与积分互逆
  - $\frac{d}{dx}\left(\int f(x)dx\right) = f(x)$
  - $\int F'(x)dx = F(x) + C$

## 二、基本积分公式
### 1. 次幂函数
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
### 2. 对数与指数函数
- $\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
### 3. 三角函数
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x dx = \sin x + C$

## 三、积分方法
### 1. 第一类换元法（凑微分法）
- 公式
  - $\int f[\phi(x)]\phi'(x)dx = \int f(u)du \quad (u=\phi(x))$
- 常见凑微分形式
  - $\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C$
  - $\int x^{n-1}f(x^n)dx = \frac{1}{n}\int f(x^n)d(x^n)$
### 2. 第二类换元法
- 三角代换
  - $\sqrt{a^2-x^2}: x=a\sin t$
  - $\sqrt{a^2+x^2}: x=a\tan t$
  - $\sqrt{x^2-a^2}: x=a\sec t$
- 倒代换
  - $x=\frac{1}{t}$
- 指数/对数代换
### 3. 分部积分法
- 公式
  - $\int u dv = uv - \int v du$
- 适用情形
  - $\int P(x)e^x dx$
  - $\int P(x)\sin x/\cos x dx$
  - $\int e^x\sin x dx$（循环法）

## 四、特殊函数积分
### 1. 有理函数积分
- 步骤
  - 多项式除法（假分式→真分式）
  - 部分分式分解
  - 逐项积分
### 2. 三角函数有理式
- 万能代换
  - $t = \tan\frac{x}{2}$
- 特殊情形简化
  - $\int \sin^mx\cos^nx dx$ （m/n为奇数时特定解法）
### 3. 简单无理函数积分
- $\int R(x,\sqrt[n]{ax+b})dx$ 
  - 令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$
- $\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx$ 
  - 三角代换

## 五、积分表的使用
### 1. 常见积分公式查阅技巧
### 2. 公式变形适配方法