多元函数微分学：基本概念、偏导数与应用分析

# 多元函数微分学
- 基本概念
  - 多元函数定义
    - 自变量
      - \( (x_1) \)
      - \( (x_2) \)
      - \( \ldots \)
      - \( (x_n) \)
    - 函数形式
      - \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \)
  - 定义域
    - 取值范围
      - 有界与无界
    - 条件限制
      - 约束条件
      - 变量之间关系
- 偏导数
  - 定义
    - 数学表达式：\( \frac{\partial f}{\partial x_i} \)
  - 求法
    - 单个变量求导
      - 将其他变量视为常数
  - 偏导数的性质
    - 存在性
      - 需要连续性
    - 连续性
      - 在某点的连续
    - 混合偏导数定理
      - 克劳斯定理
- 全微分
  - 全微分定义
    - 表达式：\( df = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i \)
  - 全微分的几何意义
    - 切平面
      - 切线与切平面关系
    - 最佳线性近似
      - 线性化技术
- 方向导数
  - 定义
    - 表达式：\( D_u f = \nabla f \cdot u \)
  - 求法
    - 归一化单位向量
      - 方向向量处理
- 梯度
  - 定义
    - 表达式：\( \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \)
  - 性质
    - 方向导数与梯度的关系
      - 最大增加率
    - 最大增减方向
      - 梯度方向特性
- 最值问题
  - 条件极值
    - 拉格朗日乘数法
      - 约束优化
    - 使用技巧
  - 无约束极值
    - Hessian 矩阵的判别
      - 正定与负定
- 连续性与可微性
  - 连续性定义
    - 定义： \( \lim_{(x_k) \to (c_k)} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f(c_1, c_2, \ldots, c_n) \)
  - 可微性定义
    - 连续可导条件
  - 性质
    - 可微性与连续性的关系
      - 可微性蕴含连续性
- 应用
  - 经济学中的应用
    - 边际分析
    - 最优化问题
  - 物理中的应用
    - 动力学模型
    - 热传导与扩散
  - 工程中的应用
    - 设计优化
    - 系统建模与控制