多电子原子及其泡利原理与能级分裂解析

# 多电子原子：泡利原理
- 氦的光谱和能级
  - 能级分裂公式
    - $$ E_n = -\frac{54.4}{n^2} \text{ eV} $$
  - 单重态与三重态
    - 单重态(S=0)
      - 对称空间波函数
    - 三重态(S=1)
      - 反对称空间波函数
  - 选择定则
    - ΔS = 0（禁戒跃迁）
- 两个电子的耦合
  - L-S耦合（罗素-桑德斯耦合）
    - 总角动量 $\vec{L} = \vec{L_1} + \vec{L_2}$
    - 总自旋 $\vec{S} = \vec{S_1} + \vec{S_2}$
    - 总角动量 $\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}$
  - j-j耦合
    - 自旋-轨道耦合 $\vec{j_i} = \vec{l_i} + \vec{s_i}$
    - 总角动量 $\vec{J} = \vec{j_1} + \vec{j_2}$
  - 耦合能级
    - 能级分裂公式 $$ \Delta E_{LS} = \frac{1}{2} C [J(J+1) - L(L+1) - S(S+1)] $$
- 泡利不相容原理
  - 原理表述
    - 同一原子中不能有两个电子具有完全相同的四个量子数
  - 波函数的性质
    - 波函数反对称性 $$ \Psi(1,2) = -\Psi(2,1) $$
  - 自旋波函数
    - 三重态（对称）
      - $$\chi_s = \begin{cases} \alpha\alpha \\ \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\beta + \beta\alpha) \\ \beta\beta \end{cases}$$
    - 单态（反对称）
      - $$\chi_a = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\beta - \beta\alpha)$$
- 元素周期表
  - 电子排布规则
    - 泡利不相容原理
    - 能量最低原理
    - 洪德规则
      - $$ S_{\max} \text{ 优先} $$
  - 壳层结构
    - 主量子数 n
      - K, L, M, ...
    - 角量子数 l
      - s, p, d, f
  - 周期律
    - 周期 = 最大n值
    - 族 = 价电子数
  - 电子组态表示
    - 例： 
      - Fe(26e⁻) ： [Ar] 4s² 3d⁶