高等数学：函数、极限、导数与应用的深入探讨

# 高等数学
- 函数与极限
  - 函数的定义
    - 映射关系
    - 一对一与多对一
    - 复合函数
  - 函数的分类
    - 初等函数
    - 复合函数
    - 随机函数
  - 极限的概念
    - 左极限与右极限
    - 无穷小的定义
  - 极限的性质
    - 极限存在的条件
    - 极限运算的性质
  - 无穷小与无穷大
  - 夹逼定理
- 连续性
  - 连续函数的定义
  - 连续性的性质
    - 闭区间上的连续性
    - 开区间上的连续性
  - 中间值定理
    - 应用举例
  - 极值定理
    - 边界值的讨论
- 导数
  - 导数的定义
    - 切线的定义
    - 微分的概念
  - 导数的几何意义
    - 函数的增减性
    - 函数的极值
  - 导数的计算法则
    - 乘法法则
    - 除法法则
    - 链式法则
  - 高阶导数
  - 微分与导数的应用
    - 物理中的自变量变化
  - 洛必达法则
    - 不定型的讨论
- 积分
  - 不定积分与定积分
    - 积分的基本定理
  - 积分的几何意义
    - 面积与体积的计算
  - 积分计算方法
    - 换元积分法
    - 分部积分法
    - 数值积分法
  - 定积分的性质与应用
    - 基本性质
    - 平均值定理
  - 牛顿-莱布尼茨公式
- 无穷级数
  - 数列与级数的定义
    - 数列的收敛判别
  - 收敛与发散的概念
  - 常见级数的收敛性判断
    - 比较测试
    - 比率测试
    - 根测试
    - 辛普森测试
  - 幅度级数
  - 傅里叶级数
- 多变量微积分
  - 多元函数的极限与连续性
    - 多元极限的计算
  - 偏导数与全微分
    - 逐变量求导
  - 多重积分及其应用
    - 二重积分
    - 三重积分
  - 级数的润滑
  - 方向导数与梯度
- 微分方程
  - 常微分方程的基本概念
    - 线性与非线性
  - 一阶微分方程的解法
    - 可分离变量法
    - 齐次方程
    - 线性方程
  - 高阶微分方程的解法
    - 常系数线性方程
  - 线性微分方程的应用
    - 物理模型
- 向量和曲线
  - 向量的基本概念与运算
    - 向量加法与标量乘法
  - 曲线的参数表示
    - 映射与参数化
  - 曲面积分与曲线积分
  - 格林定理
  - 斯托克斯定理
  - 散度定理
- 应用
  - 优化问题及其求解
    - 一维与多维优化
    - Lagrange乘数法
  - 物理中的应用
    - 运动学与动力学
  - 经济学中的应用
    - 边际分析与效用函数