差错控制编码理论与应用概述解析

# 差错控制编码
## 基本原理
- 核心思想
  - 冗余码元的作用
  - 检错与纠错的区别
- 关键指标
  - 编码效率
    - 定义：$$ R = \frac{k}{n} $$
  - 汉明距离
    - 定义：$$ d_{min} $$
- 分类
  - 检错码
  - 纠错码
  - 分组码
  - 卷积码
## 简单编码
### 奇偶监督码
- 特点
  - 单比特冗余
- 检错能力
  - 奇数个错误精准检查
### 二维奇偶监督码
- 特点
  - 行列双重校验
- 能力
  - 可纠正单比特错误
### 恒比码
- 定义
  - 固定"1"的占比
- 应用场景
  - 适用于简单的检错
### 正反码
- 特点
  - 信息位重复或取反
- 检错能力
  - 较强的错误检测能力
## 线性分组码
### 基本原理
- 码字结构
  - 定义：$$ (n,k) $$
  - 信息位：k
  - 监督位：r = n-k
### 监督方程与矩阵
- 监督方程
  - 形式：$$ H \cdot C^T = 0 $$
- 典型矩阵
  - 形式：$$ H = [P \mid I_r] $$
### 生成方程与矩阵
- 生成矩阵
  - 形式：$$ G = [I_k \mid P^T] $$
- 编码公式
  - 定义：$$ C = D \cdot G $$
## 循环码
### 多项式表示
- 生成多项式
  - 定义：$$ g(x) $$
- 码多项式
  - 形式：$$ c(x) = d(x) \cdot g(x) $$
### 编码步骤
- 信息位左移
  - 移位量：r
  - 形式：$$ x^r \cdot d(x) $$
- 模运算
  - 运算对象：$$ g(x) $$
- 组合
  - 商式和余式的结合
### 解码步骤
- 接收多项式
  - 操作：除$$ g(x) $$
- 校验
  - 判定余式是否为0
## 卷积码
### 基本特征
- 记忆编码
  - 形式：$$ (n,k,m) $$
  - 约束长度：m
- 图表示
  - 形式：树状/网格图
### 编码原理
- 实现方式
  - 移位寄存器
- 多项式描述
  - 生成多项式
### 维特比译码
- 原理
  - 最大似然路径选择
- 准则
  - 最小汉明距离
## 关键公式
- 汉明界
  - 表达式：$$ 2^{n-k} \geq \sum_{i=0}^t \binom{n}{i} $$
- 生成矩阵标准形
  - 形式：$$ G = [I_k \mid P] $$
- 循环码生成条件
  - 条件：$$ g(x) \mid (x^n + 1) $$