高等数学核心框架：函数、极限、导数、积分、微分方程

# 高等数学核心框架
## 1. 函数与极限
- 函数
  - 基本初等函数
    - 幂函数
    - 指数函数
    - 对数函数
    - 三角函数
    - 反三角函数
  - 复合函数
    - 定义与性质
    - 反函数
      - 反函数的计算
  - 函数的性质
    - 奇偶性
    - 周期性
    - 单调性
      - 单调增加与单调减少
      - 单调区间的确定
- 极限
  - 极限的定义
    - ε-δ语言
    - 数列的极限
  - 极限运算法则
    - 四则运算
    - 复合函数的极限
  - 重要极限
    - 例如：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$
  - 无穷小与无穷大
    - 转化与比较
  - 连续性
    - 间断点分类 
      - 可去间断点
      - 跳跃间断点
      - 无穷间断点
    - 闭区间连续函数的性质
## 2. 导数与微分
- 导数
  - 导数的定义
    - 几何意义
      - 切线斜率
      - 变化率
  - 求导法则
    - 四则运算
    - 链式法则
    - 隐函数求导
  - 高阶导数
    - 一阶导数与二阶导数
  - 微分中值定理
    - Rolle定理
    - Lagrange中值定理
    - Cauchy中值定理
- 应用
  - 单调性与极值
    - 极值的判断
  - 凹凸性与拐点
    - 凹凸性的判别
  - 洛必达法则
    - 极限计算的应用
  - Taylor展开
    - 一般形式
    - 泰勒近似
## 3. 积分
- 不定积分
  - 基本积分公式
  - 积分法
    - 换元法
    - 分部积分法
    - 有理函数积分
- 定积分
  - 定义
    - 黎曼和
  - 微积分基本定理
    - Newton-Leibniz公式
  - 应用
    - 面积
    - 体积
    - 弧长
    - 物理问题
- 广义积分
  - 无穷积分
  - 瑕积分
## 4. 多元函数微积分
- 偏导数与全微分
  - 偏导数
    - 定义与计算
  - 方向导数
  - 梯度
  - 极值
    - 条件极值
    - Lagrange乘数法
- 重积分
  - 二重积分
    - 直角坐标系
    - 极坐标系
  - 三重积分
    - 柱坐标
    - 球坐标
- 曲线与曲面积分
  - 格林公式
  - 斯托克斯公式
  - 高斯公式
## 5. 无穷级数
- 数项级数
  - 收敛判别法
    - 比较法
    - 比值法
    - 根值法
    - Leibniz法
- 幂级数
  - 收敛半径
  - 和函数的性质
  - Taylor级数展开
- 傅里叶级数
  - 周期函数的三角级数展开
  - 傅里叶系数的计算
## 6. 微分方程
- 一阶方程
  - 可分离变量法
  - 齐次方程
  - 线性方程
- 高阶线性方程
  - 常系数齐次解法
  - 常系数非齐次解法
  - 特征方程法
- 应用
  - 振动模型
  - 人口增长模型
  - 物理问题建模