傅里叶变换与离散傅里叶变换的基本原理与应用

# 傅里叶变换与离散傅里叶变换的基本原理与应用
## 引言
### 傅里叶变换形式
- 非周期实连续信号
  - 频谱：非周期连续
- 周期连续信号
  - 频谱：非周期离散
- 非周期离散信号
  - 频谱：周期连续
- 离散周期序列
  - 时频域：均离散周期
### 变换规律
- 频域离散
  - 对应：时域周期
- 时域离散
  - 对应：频域周期
- 往返转换
  - 一域离散引发另一域周期延拓
### DFT导出背景
- 计算机需求
  - 处理有限长序列
- Z变换与序列傅里叶变换
  - 无法直接数值计算

## DFT定义
### 正变换与反变换
- 正变换
  - X(k)：由x(n)在N点内加权求和
- 反变换
  - x(n)：由X(k)加权平均得到
- 变换区间N
  - 关键参数
### 与其他变换关系
- Z变换
  - DFT：单位圆上N点等间隔采样
- 序列傅里叶变换
  - DFT：[0,2π]区间N点采样
### 隐含周期性
- X(k)与x(n)
  - 均以N为周期
- 周期延拓
  - 原序列：DFT主值序列无限周期复制

## DFT基本性质
### 线性性质
- 两序列线性组合
  - DFT为对应DFT线性组合
- 短序列补零
  - 至相同长度N
### 循环移位性质
- 时域移位
  - 移位序列DFT为原DFT乘复相位因子
- 频域移位
  - 移位频谱对应：时域乘复相位因子
### 循环卷积定理
- 定义
  - 两序列循环卷积需周期延拓再截取
- 定理
  - 时域循环卷积DFT等于频域乘积
- 与线性卷积关系
  - 当N≥L+M-1时两者相等
### 复共轭特性
- 复共轭序列
  - DFT为原DFT复共轭对称值
- 时间反转复共轭序列
  - DFT为原DFT复共轭
### 共轭对称性
- 序列可分解
  - 共轭对称与反对称分量
- 实序列DFT
  - 满足共轭对称性

## 频率域采样
### 采样定义
- 频域等间隔采样
  - 对应：时域周期延拓
### 采样定理
- 时域延拓序列
  - 原序列周期复制
- N≥序列长度
  - 可无失真恢复原序列

## DFT应用
### 线性卷积计算
- 循环卷积法
  - 通过DFT/IDFT快速计算
- 重叠相加法
  - 处理长序列时分段卷积再叠加
### 信号谱分析
- 连续信号
  - 采样、截断后进行DFT分析
- 序列分析
  - 周期序列频谱由DFT表示
- 参数选择
  - 采样频率：满足奈奎斯特准则
  - 频率分辨率：由截断时间决定
### 误差问题
- 混叠
  - 采样频率不足导致频谱重叠
- 栅栏效应
  - DFT点数少导致频谱信息缺失
- 截断效应
  - 矩形窗截断导致频谱能量扩散