二次函数的定义、图像、性质与应用分析

该思维导图概述了二次函数的定义及其性质，包括一般形式、图像特点、根的判别式和解析式变形。二次函数的图像为抛物线，开口方向与系数a的符号有关，顶点、对称轴及关键点的坐标和性质也被详细列出。此外，根的判别式用于判断根的数量，解析式变形包括顶点式和交点式。应用方面涵盖最值问题、抛物线运动轨迹等工程领域，并给出了相关关键公式。

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# 二次函数
## 定义
- 二次函数
  - 定义: 形如 y = ax² + bx + c 的函数
  - 参数: a, b, c 为常数，a ≠ 0
## 一般形式
- 一般形式: y = ax² + bx + c
## 图像与性质
- 抛物线
  - 特性
    - 开口方向
      - a > 0: 向上
      - a < 0: 向下
    - 顶点
      - 顶点坐标: (-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))
    - 对称轴: x = -b/(2a)
- 关键点
  - y截距: (0, c)
  - x截距: 
    - 由根公式求得: x = (-b ± √Δ)/2a
## 根的判别式
- 判别式
  - Δ = b² - 4ac
  - 根的情况
    - Δ > 0: 两相异实根
    - Δ = 0: 两相等实根
    - Δ < 0: 无实根
## 解析式变形
- 变形形式
  - 顶点式: y = a(x-h)² + k
    - h: -b/(2a)
    - k: (4ac-b²)/(4a)
  - 交点式: y = a(x-x₁)(x-x₂)
## 应用
- 最值问题
  - 应用案例: 最大值、最小值
- 抛物线运动轨迹
  - 运动方程: 描述物体抛射运动
- 经济优化问题
  - 成本与收益分析
- 桥梁设计等工程应用
  - 结构稳定性分析
## 关键公式
- 求根公式: 
  - x = (-b ± √Δ)/2a
- 顶点坐标公式: 
  - h = -b/(2a), k = (4ac-b²)/(4a)
- 韦达定理
  - x₁ + x₂ = -b/a
  - x₁x₂ = c/a

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